Question

15．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB=2，點M是SD的中點，AN⊥SC，且交SC于點N．
（1）求證：直線SC⊥平面AMN；
（2）求點N到平面ACM的距離．

Answer 1

分析 （1）證明AM⊥DC．AM⊥SD．推出AM⊥平面SDC．即可證明SC⊥AM．然后利用直線與平面才知道判定定理證明SC⊥平面AMN．
（2）通過${V}_{M-ANG}=\frac{1}{2}{V}_{D-ANG}=\frac{1}{2}{V}_{N-ACD}=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}{V}_{S-ACD}$，結(jié)合已知條件通過V_N-ACM求解點N到平面ACM的距離．

解答 解：（1）證明：由條件有DC⊥SA，DC⊥DA，
∴DC⊥平面SAD，∴AM⊥DC．
又∵SA=AD，M是SD的中點，∴AM⊥SD．
∴AM⊥平面SDC．∴SC⊥AM．
由已知SC⊥AN，∴SC⊥平面AMN．（6分）
（2）${V_{M-ANC}}=\frac{1}{2}{V_{D-ANC}}=\frac{1}{2}{V_{N-ACD}}=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}{V_{S-ACD}}={（{\frac{1}{3}}）^2}×\frac{1}{2}×2×2×2=\frac{4}{9}$…（8分）
$MA=\sqrt{2}，AC=2\sqrt{2}，MC=\sqrt{6}$${S_{△AMC}}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{6}=\sqrt{3}$…（10分）
${V_{N-ACM}}=\frac{1}{3}×\sqrt{3h}=\frac{4}{9}$$h=\frac{{4\sqrt{3}}}{9}$，
∴點N到平面ACM的距離為$\frac{{4\sqrt{3}}}{9}$．…（12分）

點評 本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)與判斷，考查空間想象能力以及邏輯推理能力，轉(zhuǎn)化思想的應用．