Question

7．如圖，已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，直線F是右準(zhǔn)線且準(zhǔn)線方程為x=4．A、B分別是其左右頂點(diǎn)，P是橢圓上異于左右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)．直線PA、PB與橢圓的右準(zhǔn)線分別交于E、F兩點(diǎn)，連接AF與橢圓交于點(diǎn)M．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）證明：E、B、M三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析 （1）由題意離心率及準(zhǔn)線方程求得a值，再由離心率求得c，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)點(diǎn)P、M坐標(biāo)分別為P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），由直線方程的點(diǎn)斜式分別求出AP、BP所在直線方程，求出E、F的坐標(biāo)，由A、F、M三點(diǎn)共線結(jié)合P、M在橢圓上可得2x₁x₂-5（x₁+x₂）+8=0．設(shè)直線EB、MB的斜率分別為k_EB、k_MB，由${{k}_{EB}}^{2}-{{k}_{MB}}^{2}=0$證得答案．

解答 （1）解：∵離心率e=$\frac{1}{2}$，且準(zhǔn)線方程為x=4，
∴$a=\frac{c}{a}•\frac{{a}^{2}}{c}=\frac{1}{2}×4=2$，則c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=\sqrt{3}$，
即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）證明：設(shè)點(diǎn)P、M坐標(biāo)分別為P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），
則易得直線AP方程為：$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}x+\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$，即可求得點(diǎn)E（4，$\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$），
直線BP方程為：$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}x-\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$，即可求得點(diǎn)F（4，$\frac{2{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$），
∵A、F、M三點(diǎn)共線，∴k_AF=k_AM，即$\frac{{y}_{1}}{3（{x}_{1}-2）}=\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$，
化簡(jiǎn)得y₁（x₂+2）=3y₂（x₁-2），兩邊平方得${{y}_{1}}^{2}（{x}_{2}+2）^{2}=9{{y}_{2}}^{2}（{x}_{1}-2）^{2}$，
又∵P（x₁，y₁），M（x₂，y₂）在橢圓上，
∴$（4-{{x}_{1}}^{2}）（{x}_{2}+2）^{2}=9（4-{{x}_{2}}^{2}）（{x}_{1}-2）^{2}$，整理得2x₁x₂-5（x₁+x₂）+8=0．
不妨設(shè)直線EB、MB的斜率分別為k_EB、k_MB，則
${{k}_{EB}}^{2}-{{k}_{MB}}^{2}=（\frac{3{y}_{1}}{{x}_{1}+2}）^{2}-（\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}）^{2}$
=$\frac{9{{y}_{1}}^{2}}{（{x}_{1}+2）^{2}}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{（{x}_{2}-2）^{2}}$=$\frac{9{{y}_{1}}^{2}（{x}_{2}-2）^{2}-（{x}_{1}+2）^{2}{{y}_{2}}^{2}}{（{x}_{1}+2）^{2}（{x}_{2}-2）^{2}}$
=$\frac{9（12-3{{x}_{1}}^{2}）（{x}_{2}-2）^{2}-（{x}_{1}+2）^{2}（12-3{{x}_{2}}^{2}）}{4（{x}_{1}+2）^{2}（{x}_{2}-2）^{2}}$
=$\frac{3[9（2-{x}_{1}）（{x}_{2}-2）-（{x}_{1}+2）（2+{x}_{2}）]}{4（{x}_{1}+2）（{x}_{2}-2）}$
=$\frac{3[-2{x}_{1}{x}_{2}+5（{x}_{1}+{x}_{2}）-8]}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}-2）}$=0．
∴k_EB=k_MB，即E、B、M三點(diǎn)共線，原命題得證．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了橢圓方程的求法，體現(xiàn)了整體運(yùn)算思想方法，考查了計(jì)算能力，是中檔題．