Question

19．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且C₁的右焦點與拋物線C₂：y²=4$\sqrt{3}$x的焦點相同．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）求經過點P（-2，0）分別作斜率為k₁、k₂（k₁≠k₂）的兩條直線，兩直線分別與橢圓C₁交于M、N兩點，當直線MN與y軸垂直時，求k₁•k₂的值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率和且C₁的右焦點與拋物線C₂：y²=4$\sqrt{3}$x的焦點相同，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C₁的方程．
（2）設直線PM：y=k₁（x+2），與橢圓聯(lián)立，求出M，同理求出N，由直線MN與y軸垂直，得${k}_{1}+4{k}_{1}{{k}_{2}}^{2}={k}_{2}+4{k}_{2}{{k}_{1}}^{2}$，由此能求出k₁k₂的值．

解答 解：（1）∵橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
且C₁的右焦點與拋物線C₂：y²=4$\sqrt{3}$x的焦點相同，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得a=2，c=$\sqrt{3}$，
b²=4-3=1，
∴橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）由題意，當k₁=0時，M點的縱坐標為0，直線MN與y軸垂直，則點N的縱坐標也為0，
∴k₁=k₂=0，與k₁≠k₂矛盾，∴k₁≠0，
設直線PM：y=k₁（x+2），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y={k}_{1}（x+2）}\end{array}\right.$，得$（\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}+4）{y}^{2}-\frac{4y}{{k}_{1}}=0$，
解得$y=\frac{4{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$或y=0（舍），
∴M（$\frac{2-8{{k}_{1}}^{2}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，$\frac{4{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$），同理N（$\frac{2-8{{k}_{2}}^{2}}{1+4{{k}_{2}}^{2}}$，$\frac{4{k}_{2}}{1+4{{k}_{2}}^{2}}$），
∵直線MN與y軸垂直，∴$\frac{4{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$=$\frac{4{k}_{2}}{1+4{{k}_{2}}^{2}}$，
化簡，得${k}_{1}+4{k}_{1}{{k}_{2}}^{2}={k}_{2}+4{k}_{2}{{k}_{1}}^{2}$，
∴（k₂-k₁）（4k₁k₂-1）=0，
又由k₁≠k₂，得4k₁k₂-1=0，
∴k₁k₂=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率之積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質、直線方程的性質的合理運用．