Question

設f（x）為R上的增函數(shù)，令F（x）=f（x）-f（2013-x）
（1）證明F（x）在R上是增函數(shù)；
（2）若F（x₁）+F（x₂）＞0，證明x₁+x₂＞2013．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用,函數(shù)單調性的判斷與證明

專題：證明題,函數(shù)的性質及應用

分析：（1）用單調性的定義來證明F（x）是增函數(shù)，基本步驟是：一取值，二作差（商），三判定，四結論；
（2）由F（x₁）+F（x₂）＞0得F（x₁）＞-F（x₂）由F（x）=f（x）-f（2013-x）變形-F（x₂），
得F（2013-x₂），即F（x₁）＞F（2013-x₂），從而證出結論．

解答： （1）證明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則
F（x₁）-F（x₂）=[f（x₁）-f（2013-x₁）]-[f（x₂）-f（2013-x₂）]
=[f（x₁）-f（x₂）]+[f（2013-x₂）-f（2013-x₁）]；
∵f（x）是實數(shù)集R上的增函數(shù)，且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）＜0，
由x₁＜x₂，得-x₁＞-x₂，∴2013-x₁＞2013-x₂，
∴f（2013-x₁）＞f（2013-x₂），∴f（2013-x₂）-f（2013-x₁）＜0，
∴[f（x₁）-f（x₂）]+[f（2013-x₂）-f（2013-x₁）]＜0；
即F（x₁）＜F（x₂），
∴F（x）是R上的增函數(shù)．
（2）證明：∵F（x₁）+F（x₂）＞0，∴F（x₁）＞-F（x₂），
由F（x）=f（x）-f（2013-x）知，
-F（x₂）=-[f（x₂）-f（2013-x₂）]
=f（2013-x₂）-f（x₂）
=f（2013-x₂）-f[2013-（2013-x₂）]=F（2013-x₂），
∴F（x₁）＞F（2013-x₂）；
又F（x）是實數(shù)集R上的增函數(shù)，
∴x₁＞2013-x₂，即x₁+x₂＞2013．

點評：本題考查了利用定義法證明函數(shù)的單調性，以及函數(shù)單調性的靈活應用，是有一定難度的題目．