Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-x+m\\-（m+4）x+{m^2}-m-3\end{array}$$\begin{array}{l}，x≥0\\;x＜0\end{array}$，若對任意的實(shí)數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂）都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-4，+∞）
• B． （-∞，-1）∪（3，+∞）
• C． （-∞，-1]∪[3，+∞）
• D． （-4，-1]∪[3，+∞）

Answer 1

分析 由對任意的實(shí)數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂）都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜0，可得f（x）在R上遞減，由分段函數(shù)可得$\left\{\begin{array}{l}{-（m+4）＜0}\\{m≤{m}^{2}-m-3}\end{array}\right.$，解不等式即可得到所求m的范圍．

解答 解：由對任意的實(shí)數(shù)x₁，x₂（x₁≠x₂）都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜0，可得
f（x）在R上遞減，
由函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-x+m\\-（m+4）x+{m^2}-m-3\end{array}$$\begin{array}{l}，x≥0\\;x＜0\end{array}$，可得
$\left\{\begin{array}{l}{-（m+4）＜0}\\{m≤{m}^{2}-m-3}\end{array}\right.$即為$\left\{\begin{array}{l}{m＞-4}\\{m≥3或m≤-1}\end{array}\right.$，
解得m≥3或-4＜m≤-1．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)及其應(yīng)用，理解“對任意的實(shí)數(shù)x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＜0成立?函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減”是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)所在，考查解不等式組的能力，屬于中檔題．