Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若對任意的x∈（0，+∞），不等式lnx≤kx²-1恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）對于恒成立的問題，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，x＞0，
∴f′（x）=$\frac{1-1-lnx}{{x}^{2}}$=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=1，
當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)減，
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)增，
∴f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，在（1，+∞）為減函數(shù)，
當(dāng)x=1函數(shù)有極大值，極大值為f（1）=1，無極小值；
（2）任意的x∈（0，+∞），不等式lnx≤kx²-1恒成立，
∴k≥$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$在（0，+∞）上恒成立，
設(shè)g（x）=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$，
∴g′（x）=$\frac{-1-2lnx}{{x}^{3}}$，
令g′（x）=0，解得x=$\frac{1}{\sqrt{e}}$，
當(dāng)x＞$\frac{1}{\sqrt{e}}$時，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)減，
當(dāng)0＜x＜$\frac{1}{\sqrt{e}}$時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)增，
∴g（x）_max=g（$\frac{1}{\sqrt{e}}$）=$\frac{e}{2}$，
∴k≥$\frac{e}{2}$，
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍[$\frac{e}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了恒成立的問題，熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、等價轉(zhuǎn)化的方法等是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．