Question

19．如圖，ABCD是矩形，其中AB=2AD=4，E為DC上一點(diǎn)，使得D點(diǎn)射影落在AE上．

（1）若E為CD中點(diǎn)，求證：AD⊥平面BDE；
（2）設(shè)∠DAE=θ，當(dāng)DB最短時(shí)，求θ的值．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)可知AD⊥DE，取AE中點(diǎn)O，連接OD、BE，由AD=DE=2，知OD⊥AE，由二面角D-AE-B為直二面角，知OD⊥平面ABCE由此能夠證明AD⊥平面BDE．
（2）由BE⊥DE，設(shè)DE=x，則CE=4-x，從而DB=$\sqrt{（4-x）^{2}+4+{x}^{2}}$=$\sqrt{2{x}^{2}-8x+20}$=$\sqrt{2（x-2）^{2}+12}$$≥2\sqrt{3}$，當(dāng)DE=2時(shí)，DB最短，由此能求出θ的值．

解答 （1）證明：∵ABCD是矩形，AB=2AD=4，E為DC上一點(diǎn)，使得D點(diǎn)射影落在AE上．
∴AD⊥DE，取AE中點(diǎn)O，
連接OD、BE，∵AD=DE=2，∴OD⊥AE，
又∵D點(diǎn)射影落在AE上，即二面角D-AE-B為直二面角，
∴OD⊥平面ABCE，
∴OD⊥BE，AE=BE=2$\sqrt{2}$，AB=4，
∴AB²=AE²+BE²，AE⊥BE，OD∩AE=O，
∴BE⊥平面ADE，
∴BE⊥AD，BE∩DE=E，
∴AD⊥平面BDE．
（2）解：由（1）得BE⊥DE，∴DB=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}$，
設(shè)DE=x，則CE=4-x，
∴DB=$\sqrt{（4-x）^{2}+4+{x}^{2}}$=$\sqrt{2{x}^{2}-8x+20}$=$\sqrt{2（x-2）^{2}+12}$$≥2\sqrt{3}$，
當(dāng)DE=2時(shí)，DB最短，此時(shí)DB=2$\sqrt{3}$，
在△ADE中，∵AD=DE=2，AD⊥DE，∠DAE=θ，
∴θ=45°．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面垂直的證明，考查角的求示，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，合理地運(yùn)用配方法進(jìn)行解題．