Question

17．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，G為ABC的重心，BE=$\frac{1}{3}$BC₁．
（1）求證：GE∥平面AA₁B₁B；
（2）若側面ABB₁A₁⊥底面ABC，∠A₁AB=∠BAC=60°，AA₁=AB=AC=2，求直線A₁B與平面B₁GE所成角θ的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連結CG交AB于O，過G作GD∥AB交BC于D，連結DE，GE，根據重心的性質得出$\frac{BD}{BC}=\frac{OG}{OC}=\frac{BE}{B{C}_{1}}=\frac{1}{3}$，故而可證平面DGE∥平面ABB₁A₁，從而得出GE∥平面ABB₁A₁；
（2）連結A₁O，可證A₁O⊥平面ABC，以O為原點建立空間直角坐標系，求出$\overrightarrow{{A}_{1}B}$和平面B₁GE的法向量$\overrightarrow{n}$的坐標，則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{{A}_{1}B}$＞|．

解答 證明：（1）連結CG交AB于O，過G作GD∥AB交BC于D，連結DE，GE
∵G是△ABC的重心，∴$\frac{BD}{BC}=\frac{OG}{OC}=\frac{1}{3}$，
又$\frac{BE}{B{C}_{1}}=\frac{1}{3}$，∴DE∥CC₁，
∴DE∥BB₁，又GD∥AB，GD∩DE=D，AB∩BB₁=B，
∴平面GDE∥平面ABB₁A₁，
∵GE?平面ABB₁A₁，
∴GE∥平面ABB₁A₁．

（2）連結AO，
∵AA₁=2，AO=$\frac{1}{2}AB=1$，∠A₁AB=60°，
∴A₁O=$\sqrt{A{{A}_{1}}^{2}+A{O}^{2}-2A{A}_{1}•AO•cos∠{A}_{1}AB}$=$\sqrt{4+1-2}$=$\sqrt{3}$．
∴AO²+A₁O²=AA₁²，∴A₁O⊥AB．
∵側面ABB₁A₁⊥底面ABC，側面ABB₁A₁∩底面ABC=AB，A₁O?平面ABB₁A₁，
∴A₁O⊥平面ABC．
∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形，
∴OC⊥AB，
以O為原點，以OC，OB，OA₁為坐標軸建立空間直角坐標系，如圖所示：
則A₁（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，1，0），G（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0，0），B₁（0，2，$\sqrt{3}$），C₁（$\sqrt{3}$，1，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{G{B}_{1}}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，2，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{GB}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1，0），
∴$\overrightarrow{GE}$=$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{GB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
設平面B₁GE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{G{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GE}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{3}x+2y+\sqrt{3}z=0}\\{y+\frac{\sqrt{3}}{3}z=0}\end{array}\right.$，令z=$\sqrt{3}$得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-1，$\sqrt{3}$）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{{A}_{1}B}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{{A}_{1}B}|}$=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
∴sinθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{{A}_{1}B}$＞|=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

點評 本題考查了線面平行的判斷，空間向量的應用與線面角的計算，屬于中檔題．