Question

5．已知A（1，2），B（2，3），C（-2，5）為平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)三點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AC}$；
（Ⅱ）若D為x軸上一點(diǎn)，且$\overrightarrow{AD}$與$\overrightarrow{BC}$共線，求D點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$的坐標(biāo)，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$即可；
（Ⅱ）設(shè)D（x，0），然后寫出向量$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BC}$的坐標(biāo)，根據(jù)$\overrightarrow{AD}$與$\overrightarrow{BC}$共線，由這兩向量的坐標(biāo)關(guān)系即可得到關(guān)于x的方程，解方程得出x，從而得出D點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）證明：$\overrightarrow{AB}=（1，1）$，$\overrightarrow{AC}=（-3，3）$；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=1×（-3）+1×3=0$；
∴$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AC}$；
（Ⅱ）$\overrightarrow{BC}=（-4，2）$；
設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），則$\overrightarrow{AD}=（x-1，-2）$；
∵$\overrightarrow{AD}$與$\overrightarrow{BC}$共線；
∴（-4）×（-2）-2×（x-1）=0；
解得x=5；
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0）．

點(diǎn)評 考查向量垂直的充要條件，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，由點(diǎn)的坐標(biāo)求向量坐標(biāo)，以及共線向量的坐標(biāo)關(guān)系．