Question

13．已知函數f（x）=alnx-bx²，a，b∈R．若不等式f（x）≥x對所有的b∈（-∞，0]，x∈（e，e²]都成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A． [e，+∞）
• B． $[\frac{e^2}{2}，+∞）$
• C． $[\frac{e^2}{2}，{e^2}）$
• D． [e²，+∞）

Answer 1

分析 問題轉化為$a≥\frac{x}{lnx}$對x∈（e，e²]都成立，令$h（x）=\frac{x}{lnx}$，求出h（x）的導數，通過討論函數h（x）的單調性，求出h（x）的最大值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：若不等式f（x）≥x對所有的b∈（-∞，0]，x∈（e，e²]都成立，
即alnx-bx²≥x對所有的b∈（-∞，0]，x∈（e，e²]都成立，
即alnx-x≥bx²對所有的b∈（-∞，0]，x∈（e，e²]都成立，
即alnx-x≥0對x∈（e，e²]都成立，即$a≥\frac{x}{lnx}$對x∈（e，e²]都成立，
即a大于等于$\frac{x}{lnx}$在區(qū)間（e，e²]上的最大值，
令$h（x）=\frac{x}{lnx}$，則$h'（x）=\frac{lnx-1}{{{{（lnx）}^2}}}$，
當x∈（e，e²]時，h'（x）＞0，h（x）單調遞增，
所以$h（x）=\frac{x}{lnx}$，x∈（e，e²]的最大值為$h（{e^2}）=\frac{e^2}{2}$，即$a≥\frac{e^2}{2}$，
所以a的取值范圍為$[\frac{e^2}{2}，+∞）$．
故選：B

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，是一道中檔題．