Question

13．在△ABC中，角A，B，C的對應邊分別是a，b，c，A＞B，cosC=$\frac{5}{13}$，cos（A-B）=$\frac{3}{5}$．
（1）求cos2A的值；
（2）若c=15，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及三角形內角和定理，同角三角函數基本關系式可求sin（A-B），cos（A+B），sin（A+B）的值，由于2A=（A+B）-（A-B），利用兩角差的余弦函數公式即可計算得解．
（2）由于cos2A=1-2sin²A，解得sinA的值，利用正弦定理即可求得a的值．

解答 （本題滿分為14分）
解：（1）∵cos（A-B）=$\frac{3}{5}$，
∴sin（A-B）=$\frac{4}{5}$，
∵cosC=$\frac{5}{13}$，可得：cos（A+B）=-$\frac{5}{13}$，
∴sin（A+B）=$\frac{12}{13}$，
∴cos2A=cos[（A+B）+（A-B）]=cos（A+B）cos（A-B）-sin（A+B）sin（A-B）=（-$\frac{5}{13}$）×$\frac{3}{5}-\frac{12}{13}×\frac{4}{5}$=-$\frac{63}{65}$…（8分）
（2）∵cos2A=1-2sin²A
∴-$\frac{63}{65}$=1-2sin²A，
∴2sin²A=1+$\frac{63}{65}$=$\frac{128}{65}$，
∴sin²A=$\frac{64}{65}$，
∴sinA=$\frac{8\sqrt{65}}{65}$（負值舍去），
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{12}{13}$，
∴a=$\frac{csinA}{sinC}$=$\frac{15×\frac{8\sqrt{65}}{65}}{\frac{12}{13}}$=2$\sqrt{65}$．…（14分）

點評 本題主要考查了三角形內角和定理，同角三角函數基本關系式，兩角差的余弦函數公式，正弦定理以及二倍角公式在三角函數化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．