Question

8．已知函數(shù)f（x）=x+1-alnx （a∈R）
（1）討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在x=2處取到極值，對?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求實(shí)數(shù)b范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后分a≤0與a＞0兩種情況討論，從而得到f′（x）的符號，可得f（x）在其定義域（0，+∞）內(nèi)的單調(diào)性，最后綜合可得答案；
（2）求出a的值，問題轉(zhuǎn)化為b≤1-$\frac{1}{x}$-$\frac{2lnx}{x}$在（0，+∞）恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最小值，從而求出b的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=1-$\frac{a}{x}$=$\frac{x-a}{x}$（x＞0），
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，在（0，+∞）上為增函數(shù)，
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=$\frac{x-a}{x}$=0，
令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，
∴f（x）在（0，a）上為減函數(shù)，在（a，+∞）遞增；
（2）f′（x）=1-$\frac{a}{x}$，f′（2）=1-$\frac{a}{2}$=0，解得：a=2，
∴f（x）=x+1-2lnx，
對?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，
即x+1-2lnx≥bx-2在（0，+∞）恒成立，
即b≤1-$\frac{1}{x}$-$\frac{2lnx}{x}$在（0，+∞）恒成立，
令g（x）=1-$\frac{1}{x}$-$\frac{2lnx}{x}$，g′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2-2lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{2lnx-1}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{e}$，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{e}$，
∴g（x）在（0，$\sqrt{e}$）遞減，在（$\sqrt{e}$，+∞）遞增，
∴g（x）_min=g（$\sqrt{e}$）=$\frac{2-2\sqrt{e}}{e}$，
故b≤$\frac{2-2\sqrt{e}}{e}$．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查恒成立問題，著重考查分類討論思想與構(gòu)造函數(shù)思想的應(yīng)用，體現(xiàn)綜合分析問題與解決問題能力．