Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（3sinx，-1）$\overrightarrow$=（3cosx，2），x∈R．
（1）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，求sin2x的值；
（2）設(shè)向量$\overrightarrow{c}$=（$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{3}$），記f（x）=$\frac{1}{9}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，列出方程解出；
（2）求出f（x）的解析式并化簡得f（x）=2sin²x+sinx-1，根據(jù)x得范圍得出sinx的范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出f（x）的最值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=9sinxcosx-2=0，即$\frac{9}{2}$sin2x-2=0，解得sin2x=$\frac{4}{9}$．
（2）f（x）=$\frac{1}{9}$（$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow$²）+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=$\frac{1}{9}$（9sin²x+1-9cos²x-4）+sinx+$\frac{1}{3}$=sin²x-cos²x+sinx=2sin²x+sinx-1=2（sinx+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{9}{8}$．
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，∴sinx∈[-1，1]，
∴當(dāng)sinx=-$\frac{1}{4}$，f（x）取得最小值-$\frac{9}{8}$，當(dāng)sinx=1時(shí)，f（x）取得最大值2．
∴函數(shù)f（x）的值域是[-$\frac{9}{8}$，2]．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換與化簡求值，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．