Question

1．若a≥0，b≥0，且當x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x-y≤0\\ x+y≤2\end{array}\right.$時，恒有ax+by≤1成立，則以a，b為坐標的點P（a，b）所構成的平面區(qū)域的面積等于（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{3}{8}$

Answer 1

分析 先依據不等式組$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x-y≤0\\ x+y≤2\end{array}\right.$，結合二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的關系畫出其表示的平面區(qū)域，再利用求最優(yōu)解的方法，結合題中條件：“恒有ax+by≤1”得出關于a，b的不等關系，最后再據此不等式組表示的平面區(qū)域求出面積即可．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ x-y≤0\\ x+y≤2\end{array}\right.$作出可行域如圖，
令z=ax+by，
∵ax+by≤1恒成立，
即函數z=ax+by在可行域要求的條件下，z_max≤1恒成立．
當直線ax+by-z=0過點A（1，1）或點B（0，2）時，a+b≤1，2b≤1．
點P（a，b）形成的圖形如圖：

∴所求的面積S=$\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$$S=\frac{1}{2}×1×1-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$．
故選：D．

點評 本題主要考查二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，考查轉化思想和數形結合的思想，屬中檔題．目標函數有唯一最優(yōu)解是我們最常見的問題，這類問題一般要分三步：畫出可行域、求出關鍵點、定出最優(yōu)解，是中檔題．