Question

18．某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖1所示的一條折線表示，西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖2所示的拋物線表示．（注：市場(chǎng)售價(jià)和種植成本的單位：元/kg，時(shí)間單位：天）

（1）寫出圖1表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式P=f（t）；寫出圖2表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式Q=g（t）；
（2）認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益，問(wèn)何時(shí)上市的西紅柿純收益最大？為多少？

Answer 1

分析 （1）通過(guò)圖1分別計(jì)算0≤t≤200、200＜t≤300時(shí)可得分段函數(shù)，通過(guò)圖2利用待定系數(shù)法計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過(guò)設(shè)t時(shí)刻的純收益為h（t），利用h（t）=f（t）-g（t），分0≤t≤200、200＜t≤300兩種情況配方計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）由圖1可得市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{300-t，}&{0≤t≤200}\\{2t-300，}&{200＜t≤300}\end{array}\right.$，
由圖2可得種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為g（t）=$\frac{1}{200}$（t-150）²+100，0≤t≤300；
（2）設(shè)t時(shí)刻的純收益為h（t），則h（t）=f（t）-g（t），
即h（t）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{200}{t}^{2}+\frac{1}{2}t+\frac{175}{2}，}&{0≤t≤200}\\{-\frac{1}{200}{t}^{2}+\frac{7}{2}t-\frac{1025}{2}，}&{200＜t≤300}\end{array}\right.$，
當(dāng)0≤t≤200時(shí)，配方整理得h（t）=-$\frac{1}{200}$（t-50）²+100，
所以，當(dāng)t=50時(shí)，h（t）取得區(qū)間[0，200]上的最大值100；
當(dāng)200＜t≤300時(shí)，配方整理得h（t）=-$\frac{1}{200}$（t-350）²+100，
所以，當(dāng)t=300時(shí)，h（t）取得區(qū)間（200，300]上的最大值87.5；
綜上所述，純收益最大值為100，此時(shí)t=50，即從二月一日開始的第50天時(shí)，上市的西紅柿收益最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．