Question

13．已知f（x）=ax²+x-lnx．
（1）若a=1，求函數(shù)y=f（x）的極值；
（2）若y=f（x）存在單調遞增區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）代入a的值，求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，根據(jù)導函數(shù)為0，即可求解函數(shù)的極值；
（2）問題轉化為存在關于a的不等式，利用表達式的最值，求解a的范圍．

解答 解：（1）a=1，f（x）=x²+x-lnx．定義域為x＞0，
f′（x）=2x+1-$\frac{1}{x}$=$\frac{（2x-1）（x+1）}{x}$，（x＞0），
由$\frac{（2x-1）（x+1）}{x}$=0，解得x=$\frac{1}{2}$，當x∈（0，$\frac{1}{2}$）時，f′（x）＜0，函數(shù)是減函數(shù)，當x$＞\frac{1}{2}$時，f′（x）＞0，函數(shù)在增函數(shù)，x=$\frac{1}{2}$
函數(shù)f（x）取到極小值，
∴f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}+ln2$；
（2）f′（x）=2ax+1-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}+x-1}{x}$，（x＞0），y=f（x）存在單調遞增區(qū)間，可知2ax²+x-1＞0有解．
可得a$＞\frac{1-x}{{2x}^{2}}$=$\frac{1}{{2x}^{2}}-\frac{1}{2x}$=$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{x}-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{8}$，當且僅當x=$\frac{1}{8}$時取等號．
∵$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{x}-\frac{1}{2}）^{2}$-$\frac{1}{8}$≥$-\frac{1}{8}$，
∴a$＞-\frac{1}{8}$
實數(shù)a的取值范圍：（$-\frac{1}{8}，+∞$）．

點評 本題考查了函數(shù)的極值問題，考查函數(shù)的單調性、最值問題，導數(shù)的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數(shù)學思維有一定的要求，是一道中檔題．