Question

1．已知a，b∈R，不等式$|\begin{array}{l}{x^2}&{1}&{x}\\&{-a}&{1}\\{x}&{a}&{-1}\end{array}|$＞0的解為1＜x＜2，求a，b的值．

Answer 1

分析 將行列式展開(kāi)，由行列式大于0，即ax²+（1+ab）x+b＞0，由1和2是方程ax²+（1+ab）x+b=0的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理可知，列方程組即可求得a和b的值．

解答 解：$|\begin{array}{l}{x^2}&{1}&{x}\\&{-a}&{1}\\{x}&{a}&{-1}\end{array}|$=x²×（-a）×（-1）+x+abx-x²×（-a）-ax²-（-1）×b=ax²+（1+ab）x+b＞0，
∵不等式的解為1＜x＜2，
∴a＜0，且1，2為一元二次方程：ax²+（1+ab）x+b=0的兩個(gè)根，
由韋達(dá)定理可知：$\left\{\begin{array}{l}{1+2=-\frac{1+ab}{a}}\\{1×2=\frac{a}}\end{array}\right.$，整理得：2a²+3a+1=0，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
故a=-1，b=-2或a=-$\frac{1}{2}$，b=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查行列式的展開(kāi)，考查一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系及韋達(dá)定理，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．