Question

10．設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足x²-3xy+4y²-z=0，則當(dāng)$\frac{xy}{z}$取得最大值時，$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z}+2$的最大值為3．

Answer 1

分析 將z=x²-3xy+4y²代入$\frac{z}{xy}$，利用基本不等式化簡即可得到當(dāng)$\frac{z}{xy}$取得最小值時的條件，用x，z表示y后利用配方法求得$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z}+2$的最大值．

解答 解：∵x²-3xy+4y²-z=0，
∴z=x²-3xy+4y²，又x，y，z為正實(shí)數(shù)，
∴$\frac{xy}{z}$=$\frac{xy}{{x}^{2}-3xy+4{y}^{2}}$=$\frac{1}{\frac{x}{y}+\frac{4y}{x}-3}$≥$\frac{1}{2\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{4y}{x}}-3}$=1（當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時取“=”），
即x=2y（y＞0），$\frac{xy}{z}$取得最大值1．
z=x²-3xy+4y²=2y²，
∴$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z}+2$=-$\frac{1}{{y}^{2}}$+$\frac{2}{y}$+2=-（$\frac{1}{y}$-1）²+3
∴y=1時，$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z}+2$的最大值為3．
故答案為：3．

點(diǎn)評 本題考查基本不等式，將z=x²-3xy+4y²代入$\frac{xy}{z}$，求得$\frac{xy}{z}$取得最大值時x=2y是關(guān)鍵，考查配方法求最值，屬于中檔題．