Question

6．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=CC₁=2，AC=2$\sqrt{3}$，M是AC的中點(diǎn)，則異面直線CB₁與C₁M所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{14}}{28}$．

Answer 1

分析 以M為原點(diǎn)，MA為x軸，MB為y軸，過M作AC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線CB₁與C₁M所成角的余弦值．

解答 解：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=CC₁=2，AC=2$\sqrt{3}$，M是AC的中點(diǎn)，
∴BM⊥AC，BM=$\sqrt{4-3}$=1，
以M為原點(diǎn)，MA為x軸，MB為y軸，過M作AC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
C（-$\sqrt{3}$，0，0），B₁（0，1，2），C₁（-$\sqrt{3}$，0，2），M（0，0，0），
$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（$\sqrt{3}，1，2$），$\overrightarrow{M{C}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$，0，2），
設(shè)異面直線CB₁與C₁M所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{C{B}_{1}}•\overrightarrow{M{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{C{B}_{1}}|•|\overrightarrow{M{C}_{1}}|}$=$\frac{1}{\sqrt{8}•\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{14}}{28}$．
∴異面直線CB₁與C₁M所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{14}}{28}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{14}}{28}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．