Question

11．已知△ABC的外接圓的圓心為點(diǎn)O，半徑為l，若$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$，且|$\overrightarrow{AO}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，則$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=3．

Answer 1

分析 可作出圖形，根據(jù)條件便可得出O為BC邊的中點(diǎn)，∠BAC=90°，以及AC=1，BC=2，從而得到$AB=\sqrt{3}$，而$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}•（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}）$，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可得出$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$的值．

解答 解：如圖，

由$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$得，O為邊BC的中點(diǎn)，O為△ABC外接圓的圓心，且半徑為1；
∴∠BAC=90°，BC=2；
又$|\overrightarrow{AO}|=|\overrightarrow{AC}|$，∴AC=1；
∴$AB=\sqrt{3}$；
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{BA}•（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}）={\overrightarrow{BA}}^{2}+\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{AC}=3+0=3$．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法的平行四邊形法則，三角形外心的概念，直徑所對(duì)的圓周角為直角，以及直角三角形邊的關(guān)系，向量加法的幾何意義，數(shù)量積的運(yùn)算．