Question

12．已知函數(shù)$f（x）=x-\frac{1}{x}$；
（1）證明f（x）在區(qū)間（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）求f（x）在[1，2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義求解證明即可．
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性直接求解函數(shù)的值域即可．

解答 解：（1）證明：在區(qū)間（0，+∞）任意取x₁，x₂，且x₁＜x₂有$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（{x_1}-\frac{1}{x_1}）-（{x_2}-\frac{1}{x_2}）$=$（{x_1}-{x_2}）（1+\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}）$
由條件知x₁-x₂＜0且$1+\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}＞0$有f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
所以，f（x）在區(qū)間（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)…（6分）；
（2）由（1）知f（x）在區(qū)間（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)，所以${[f（x）]_{max}}=f（2）=\frac{3}{2}$，
[f（x）]_min=f（1）=0，所以f（x）在[1，2]上的值域?yàn)?[0，\frac{3}{2}]$…（6分）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的證明與應(yīng)用，考查計(jì)算能力．