Question

16．函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-x+3}{x}$的值域為（　　）

• A． （-∞，1-2$\sqrt{3}$）∪（2$\sqrt{3}$+1，+∞）
• B． [2$\sqrt{3}$-1，+∞）
• C． （-∞，-1-2$\sqrt{3}$]∪[2$\sqrt{3}$-1，+∞）
• D． （-∞，-1-2$\sqrt{3}$]∪[2$\sqrt{3}$+1，+∞）

Answer 1

分析 把已知函數(shù)解析式變形，然后對x＞0和x＜0分類，利用基本不等式求得最值后得答案．

解答 解：函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-x+3}{x}$的定義域為{x|x≠0}．
當x＞0時，y=$\frac{{x}^{2}-x+3}{x}$=$x+\frac{3}{x}-1≥2\sqrt{x•\frac{3}{x}}-1=2\sqrt{3}-1$．
當且僅當x=$\sqrt{3}$時取等號；
當x＜0時，y=$\frac{{x}^{2}-x+3}{x}$=$x+\frac{3}{x}-1$=$-[（-x）+（-\frac{3}{x}）]-1≤-2\sqrt{（-x）•（-\frac{3}{x}）}-1$=$-2\sqrt{3}-1$．
當且僅當x=$-\sqrt{3}$時取等號．
∴函數(shù)y=$\frac{{x}^{2}-x+3}{x}$的值域為（-∞，-1-2$\sqrt{3}$]∪[2$\sqrt{3}$-1，+∞）．
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)的值域及其求法，訓練了利用基本不等式求最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．