Question

6．若點p、A、B依次是滿足|z-1|=2Rez-$\frac{1}{2}$、|z+1|=1、|z-1|=$\frac{1}{4}$的復數z在復平面上對應的點，則|PA|-|PB|的最大值是$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 求出P的軌跡方程，A、B滿足的軌跡方程，利用|PA|-|PB|的幾何意義求出最大值即可．

解答 解：點p、A、B依次是滿足|z-1|=2Rez-$\frac{1}{2}$、|z+1|=1、|z-1|=$\frac{1}{4}$的復數z在復平面上對應的點，
可知P，滿足（x-1）²+y²=（2x-$\frac{1}{2}$）²；可得：3x²-y²=$\frac{3}{4}$，即$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{3}{4}}=1$．焦點坐標（-1，0），（1，0）
A滿足：（x+1）²+y²=1，圓心F₁（-1，0），半徑為1．
B滿足：（x-1）²+y²=$\frac{1}{16}$，圓心F₂（1，0）半徑為$\frac{1}{4}$．
|PA|-|PB|的最大值為：|PF₁|+1-|PF₂|-$\frac{1}{4}$=1+1-$\frac{1}{4}$=$\frac{7}{4}$．
故答案為：$\frac{7}{4}$．

點評 本題考查復數的代數表示法及其幾何意義，考查數形結合的解題思想方法，關鍵是對題意的理解，屬中檔題．