Question

設(shè)n為正整數(shù)，由數(shù)列1，2，3，…n分別求相鄰兩項(xiàng)的和，得到一個(gè)有n-1項(xiàng)的新數(shù)列；1+2，2+3，3+4，…（n-1）+n即3，5，7，…2n-1．對這個(gè)新數(shù)列繼續(xù)上述操作，這樣得到一系列數(shù)列，最后一個(gè)數(shù)列只有一項(xiàng)．（1）記原數(shù)列為第一個(gè)數(shù)列，則第三個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)是

 

（2）最后一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的概念及簡單表示法

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：首先用第二個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)加上第二個(gè)數(shù)列的第3項(xiàng)，求出第三個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)是多少即可；然后由題意可知最后一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)an=2an-1+2n-2（n≥2，n∈N^*），即

an

2n

=

an-1

2n-1

+

1

4

，即數(shù)列{

an

2n

}是首項(xiàng)為

1

2

，公差為

1

4

的等差數(shù)列，進(jìn)而求出最后一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)即可．

解答： 解：第三個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)是：5+7=12；
由題意可知最后一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)an=2an-1+2n-2（n≥2，n∈N^*），
即

an

2n

=

an-1

2n-1

+

1

4

，
所以數(shù)列{

an

2n

}是首項(xiàng)為

1

2

，公差為

1

4

的等差數(shù)列；
則

an

2n

=

1

2

+

1

4

(n-1)=

n+1

4

，
所以a_n=（n+1）•2^n-2（n∈N^*），
即最后一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)是 （n+1）•2^n-2（n∈N^*）．
故答案為：12；（n+1）•2^n-2（n∈N^*）．

點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用，考查了構(gòu)造法的運(yùn)用，屬于中檔題，解答此題的關(guān)鍵是構(gòu)造并判斷出數(shù)列{

an

2n

}是首項(xiàng)為

1

2

，公差為

1

4

的等差數(shù)列．