Question

1．已知函數(shù)f（x）=ae^x-be^-x-cx（a，b，c∈R）的導函數(shù)f′（x）為偶函數(shù)，且曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線的斜率為2-c
（1）確定a，b的值
（2）當c=1時，判斷f（x）的單調(diào)性
（3）若f（x）有極值，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導函數(shù)f′（x）為偶函數(shù)以及到是的幾何意義，建立方程關(guān)系即可確定a，b的值
（2）當c=1時，求函數(shù)的導數(shù)，得到f′（x）＞0，即可判斷f（x）的單調(diào)性
（3）若f（x）有極值，求函數(shù)的導數(shù)，討論c的取值范圍即可，求c的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)的導數(shù)f′（x）=ae^x+be^-x-c，
∵f′（x）為偶函數(shù)，∴f′（-x）=f′（x），
即ae^-x+be^x-c=ae^x+be^-x-c，
即（a-b）（e^x-be^-x）=0恒成立，則a-b=0，即a=b．
∵y=f（x）在點（0，f（0））處的切線的斜率為2-c
∴f′（0）=a+b-c=2a-c=2-c，
∴2a=2，a=1，
則a=1，b=1．
（2）當c=1時，f（x）=e^x-e^-x-x，
f′（x）=e^x+e^-x-1≥2$\sqrt{{e}^{x}{e}^{-x}}$-1=2-1=1＞0，
∴f（x）在R上單調(diào)遞增．
（3）f′（x）=e^x+e^-x-c，
而e^x+e^-x≥2$\sqrt{{e}^{x}{e}^{-x}}$=2，當x=0時取等號，
下面分三種情況討論，
①當c＜2時，f′（x）=e^x+e^-x-c≥2-c＞0恒成立，此時函數(shù)單調(diào)遞增，無極值，不滿足條件．
②當c=2時，對任意的x≠0時，f′（x）=e^x+e^-x-c≥2-c＞0恒成立，此時函數(shù)單調(diào)遞增，無極值，不滿足條件．
③當c＞2時，令t=e^x，則由f′（x）=e^x+e^-x-c=t+$\frac{1}{t}$-c=0，即t²-ct+1=0有兩個根，
t₁=$\frac{c-\sqrt{{c}^{2}-4}}{2}$＜t₂=$\frac{c+\sqrt{{c}^{2}-4}}{2}$，
∴f′（x）=0有兩個根x₁=lnt₁，x₂=lnt₂，
當x₁＜x＜x₂時，f′（x）＜0，
當x＞x₂時，f′（x）＞0，從而f（x）在x=x₂取得極小值，
綜上若f（x）有極值，則c的取值范圍（2，+∞）．

點評 本題主要考查導數(shù)和函數(shù)的綜合應用，涉及導數(shù)的計算，導數(shù)的幾何意義，函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)之間的關(guān)系以及函數(shù)極值和導數(shù)的關(guān)系，利用分類討論以及基本不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，運算量較大．