Question

8．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$滿足$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$=$\overrightarrow 0$且$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow c$，|${\overrightarrow b}$|=2|${\overrightarrow a}$|，則tan＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $-\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)向量垂直的關(guān)系以及向量數(shù)量積的應(yīng)用先求出＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{2π}{3}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$=$\overrightarrow 0$，
∴$\overrightarrow c$=-（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$），
∵$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow c$，
∴且$\overrightarrow a$•$\overrightarrow c$=-（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）•$\overrightarrow a$=-|$\overrightarrow a$|²-$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=0，
即|$\overrightarrow a$²|+$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=0，
則$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=-|$\overrightarrow a$|²，
則cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{-|\overrightarrow{a}{|}^{2}}{2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}|}=-\frac{1}{2}$，
則＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{2π}{3}$，
則tan＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=tan$\frac{2π}{3}$=$-\sqrt{3}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量夾角的求解，根據(jù)向量垂直關(guān)系以及向量數(shù)量積的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．