【題目】圓周上分布著2002 個點，現(xiàn)將它們?nèi)我獾厝境砂咨蚝谏�，如果從某一點開始，依任一方向繞圓周運動到任一點，所經(jīng)過的（包括該點本身）白點總數(shù)恒大于黑點總數(shù)，則稱該點為好點.為確保圓周上至少有一個好點，試求所染黑點數(shù)目的最大值.

【答案】667

【解析】

由題意知，好點必為白色.以下討論一般情形：即圓周上有個點，把它們黑、白染色，僅當(dāng)黑點的個數(shù)時，才能保證一定有好點存在.

對用數(shù)學(xué)歸納法進行證明，

1.當(dāng)時，圓周上共有4 個點，黑、白染色為一個黑點和三個白點，在三個相連的白點中取居中的一個白點，易知它為好點，故當(dāng)時結(jié)論正確.

2. 設(shè)當(dāng)時命題成立.那么，當(dāng)時，在個黑點中任取一個黑點記為，在的兩旁分別取與相距最近的白點記為、，把這三點從這圓周上暫時拿掉，則在圓周上只剩下個點，其中有個黑點.由歸納假設(shè)，在此個點中必有一個好點，記為（白點）.然后再把三點放回到圓周上得到個點.

現(xiàn)證明仍為好點.

事實上，由于為白點，則點必在弧外，因而從點沿圓周上的點到達（或）內(nèi)的點時（不含點），白點總數(shù)與黑點總數(shù)之差比原差還要大1，從而到達點時，白點總數(shù)與黑點總數(shù)之差必大于0，即說明仍為好點，故時， 結(jié)論成立.

另一方面，當(dāng)黑點的總數(shù)為時，確有一種黑、白染色使得好點不存在：因個黑點將圓周分為個小弧段，再將剩下的個白點放入個小弧段中去，使得每個孤段上不多于2 個白點，這總是可以做到的，此種染法就不存在好點.

，

∴為確保好點存在，所染黑點的總數(shù)≤667.

綜上所述，所染黑點數(shù)目的最大值為667.

練習(xí)冊系列答案
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最高氣溫

[10,15)

[15,20)

[20,25)

[25,30)

[30,35)

[35,40)

天數(shù)

2

16

36

25

7

4

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．

(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；

(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)．當(dāng)六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率．

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