Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足：S_n²+1=（a_n-2）S_n，n∈N^*
（1）求S₁，S₂，S₃，猜想S_n，并用數(shù)學歸納法證明；
（2）設${b_n}=（{2n+1}）{a_n}^2$，求證：對任意正整數(shù)n，有b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

分析 （1）由S_n²+1=（a_n-2）S_n，令n=1，可得S₁=-$\frac{1}{2}$，同理可得：S₂=-$\frac{2}{3}$，S₃=-$\frac{3}{4}$，猜想S_n=-$\frac{n}{n+1}$．利用數(shù)學歸納法證明即可．
（2）由S_n²+1=（a_n-2）S_n，S_n=-$\frac{n}{n+1}$，解得a_n=-$\frac{1}{n（n+1）}$．可得${b_n}=（{2n+1}）{a_n}^2$=$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$．利用“裂項求和”即可得出．

解答 （1）解：∵S_n²+1=（a_n-2）S_n，
令n=1，可得S₁=-$\frac{1}{2}$，同理可得：S₂=-$\frac{2}{3}$，S₃=-$\frac{3}{4}$，猜想S_n=-$\frac{n}{n+1}$．
利用數(shù)學歸納法證明：
①當n=1時，S₁=-$\frac{1}{2}$成立，
②假設n=k∈N^*時，S_k=-$\frac{k}{k+1}$．
則當n=k+1時，由${S}_{k}^{2}+1=（{S}_{k}-{S}_{k-1}-2）{S}_{k}$，
化為${S}_{k}=\frac{-1}{2+{S}_{k-1}}$，∴${S}_{k+1}=\frac{-1}{2+{S}_{k}}$=$\frac{-1}{2-\frac{k}{k+1}}$=-$\frac{k+1}{k+1+1}$成立．
∴當n=k+1時命題成立．
綜上可知：S_n=-$\frac{n}{n+1}$對?n∈N^*都成立．
（2）由S_n²+1=（a_n-2）S_n，S_n=-$\frac{n}{n+1}$，解得a_n=-$\frac{1}{n（n+1）}$．
∴${b_n}=（{2n+1}）{a_n}^2$=$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$．
∴對任意正整數(shù)n，有b₁+b₂+…+b_n=$（1-\frac{1}{{2}^{2}}）+（\frac{1}{{2}^{2}}-\frac{1}{{3}^{2}}）$+…+$（\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}）$=1-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜1．
∴對任意正整數(shù)n，有b₁+b₂+…+b_n＜1．

點評 本題考查了猜想歸納能力、數(shù)學歸納法、遞推式的應用、“裂項求和”方法、“放縮法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．