Question

6．為了調(diào)查高一新生中女生的體重情況，校衛(wèi)生室隨機(jī)選取20名女生作為樣本測(cè)量她們的體重（單位：kg），獲得的所有數(shù)據(jù)按照區(qū)間（40，45]，（45，50]，（50，55]，（55，60]進(jìn)行分組，得到頻率分布直方圖如圖所示．已知樣本中體重在區(qū)間（45，50]上的女生數(shù)與體重在區(qū)間（55，60]上的女生數(shù)之比為4：3．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）從樣本中體重在區(qū)間（50，60]上的女生中隨機(jī)抽取兩人，求體重在區(qū)間（55，60]上的女生至少有一人被抽中的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)頻率的求法及所有小組的頻率和為1，構(gòu)造關(guān)于a，b的方程組，解之即得a，b的值；
（Ⅱ）根據(jù)概率的求法，計(jì)算可得答案，分別求出包含基本事件及從（50，60]中任意抽取2個(gè)個(gè)體基本事件總數(shù)，最后求出它們的比值即可．

解答 解：（Ⅰ）樣本中體重在區(qū)間（45，50]上的女生有a×5×20=100a（人），…（1分）
樣本中體重在區(qū)間（50，60]上的女生有（b+0.02）×5×20=100（b+0.02）（人），…（2分）
依題意，有100a=$\frac{4}{3}$×100（b+0.02），即a=$\frac{4}{3}$×（b+0.02）．①…（3分）
根據(jù)頻率分布直方圖可知（0.02+b+0.06+a）×5=1，②…（4分）
解①②得：a=0.08，b=0.04…（6分）
（Ⅱ）樣本中體重在區(qū)間（50，55]上的女生有0.04×5×20=4人，分別記為
A₁，A₂，A₃，A₄，…（7分）
體重在區(qū)間（55，60]上的女生有0.02×5×20=2人，分別記為B₁，B₂…（8分）
從這6名女生中隨機(jī)抽取兩人共有15種情況：
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，A₄），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，A₃），（A₂，A₄），（A₂，B₁），
（A₂，B₂），（A₃，A₄），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₄，B₁），（A₄，B₂），（B₁，B₂）…（10分）
其中體重在（55，60]上的女生至少有一人共有9種情況：
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₄，B₁），（A₄，B₂），
（B₁，B₂）…（11分）
記“從樣本中體重在區(qū)間（50，60]上的女生隨機(jī)抽取兩人，體重在區(qū)間（55，60]上的女生
至少有一人被抽中”為事件M，則P（M）=$\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息的能力．利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息時(shí)，必須認(rèn)真觀察、分析、研究統(tǒng)計(jì)圖，才能作出正確的判斷和解決問(wèn)題．