【題目】已知集合為平面內(nèi)的一個有限點集, 為平面內(nèi)的一個正三角形,集合,且.若對任意滿足條件的集合S,均可以被正三角形的兩個平移圖形覆蓋,證明:集合可以被正三角形的兩個平移圖形覆蓋.
【答案】見解析
【解析】
先證明兩個引理
引理1 若兩個三角形、正同位相似,且三角形與三角形的三條邊所在的直線相交,則三角形位于三角形之中此命題顯然成立
引理2 對任何有限點集和任何三角形,均可以找到一個與三角形正同位相似的三角形,使得三角形包含點集,且在三角形的每條邊上均有點集中的點
引理2的證明
顯然存在包含點集且與三角形正同位相似的三角形,考慮其中的一個.若在其某條邊上沒有點集中的點,則通過作以邊所對頂點為中心的位似變換將其縮小,使得該邊與點集相交,并且縮小后的三角形仍然包含點集,對各條邊均如此操作,即可得到所需的三角形.
引理2得證
綜合兩個引理,知三角形的任何包含點集M的同位相似圖形一定包含三角形.
將引理2運用于點集和正三角形,得到一個三角形,不妨稱之為.在邊上分別有點集X中的點,其中,有些點可能重合
若的大小不超過三角形,則題中結(jié)論成立.否則,考慮、、,其中, 是以A為中心所作的的位似圖形,其大小與三角形相同,其余兩個三角形的定義類似.因而,它們均為三角形的平移圖形.
再考慮點集X的如下子集:
,
,
.
再證明一個引理
引理3若三角形的某個平移圖形包含點,則圖形就不可能與相交.對于其余情形也有類似的結(jié)論
引理3的證明
假設(shè)命題不真,于是,三角形與各條邊的直線相交.從而,它包含.而三角形與是全等的三角形,故它們重合.因此,由的定義知三角形不可能與之相交.
引理3得證
對三角形T和集合,運用引理2得到三角形、三角形、三角形,且在它們的邊上可找到分別屬于集合的點(可能有些點相互重合).
由題意,知點集
可被三角形T的某兩個平移圖形所覆蓋故必有一個平移圖形至少蓋住中的兩個點,不妨設(shè).
據(jù)引理3,知三角形不可能與集合X相交.從而,點均含于另一個三角形中.再由引理1,知集合被包含于三角形之中,這表明,集合X被和三角形所覆蓋.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以原點O為極點,以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為.
(1)求曲線C1的極坐標方程和C2的直角坐標方程;
(2)射線OP:(其中)與C2交于P點,射線OQ:與C2交于Q點,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某環(huán)線地鐵按內(nèi)、外線同時運行,內(nèi)、外環(huán)線的長均為30千米(忽略內(nèi)、外環(huán)線長度差異),新調(diào)整的方案要求內(nèi)環(huán)線列車平均速度為20千米/小時,外環(huán)線列車平均速度為30千米/小時,現(xiàn)內(nèi)、外環(huán)線共有18列列車全部投入運行,其中內(nèi)環(huán)投入列列車.
(1)寫出內(nèi)、外環(huán)線乘客的最長候車時間(分鐘)分別關(guān)于的函數(shù)解析式;
(2)要使內(nèi)、外環(huán)線乘客的最長候車時問之差距不超過1分鐘,問內(nèi)、外環(huán)線應(yīng)各投入幾列列車運行?
(3)要使內(nèi)、外環(huán)線乘客的最長候車時間之和最小,問內(nèi)、外環(huán)線應(yīng)各投入幾列列車運行?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求m的取值范圍;
(2)求在區(qū)間上的最小值;
(3)討論在區(qū)間上的零點個數(shù).
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【題目】畢業(yè)季有位好友欲合影留念,現(xiàn)排成一排,如果:
(1)、兩人不排在一起,有幾種排法?
(2)、兩人必須排在一起,有幾種排法?
(3)不在排頭,不在排尾,有幾種排法?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)且.
(Ⅰ) 若1是關(guān)于x的方程的一個解,求t的值;
(Ⅱ) 當且時,解不等式;
(Ⅲ)若函數(shù)在區(qū)間(-1,2]上有零點,求t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有一段長度為的木棍,希望將其鋸成盡可能多的小段,要求每一小段的長度都是整數(shù),并且任何一個時刻,當前最長的一段都嚴格小于當前最短的一段長度的2倍,記對符合條件時的最多小段數(shù)為,則( )。
A. B. C. D.
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【題目】已知函數(shù)(),曲線在點處的切線方程為.
(1)求實數(shù)的值,并求的單調(diào)區(qū)間;
(2)試比較與的大小,并說明理由;
(3)求證:
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【題目】2018年8月8日是我國第十個全民健身日,其主題是:新時代全民健身動起來。某市為了解全民健身情況,隨機從某小區(qū)居民中抽取了40人,將他們的年齡分成7段:[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]后得到如圖所示的頻率分布直方圖。
(1)試求這40人年齡的平均數(shù)、中位數(shù)的估計值;
(2)(i)若從樣本中年齡在[50,70)的居民中任取2人贈送健身卡,求這2人中至少有1人年齡不低于60歲的概率;
(ⅱ)已知該小區(qū)年齡在[10,80]內(nèi)的總?cè)藬?shù)為2000,若18歲以上(含18歲)為成年人,試估計該小區(qū)年齡不超過80歲的成年人人數(shù)。
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