【題目】已知集合為平面內(nèi)的一個有限點集, 為平面內(nèi)的一個正三角形,集合,且.若對任意滿足條件的集合S,均可以被正三角形的兩個平移圖形覆蓋,證明:集合可以被正三角形的兩個平移圖形覆蓋.

【答案】見解析

【解析】

先證明兩個引理

引理1 若兩個三角形、正同位相似,且三角形與三角形的三條邊所在的直線相交,則三角形位于三角形之中此命題顯然成立

引理2 對任何有限點集和任何三角形,均可以找到一個與三角形正同位相似的三角形,使得三角形包含點集,且在三角形的每條邊上均有點集中的點

引理2的證明

顯然存在包含點集且與三角形正同位相似的三角形,考慮其中的一個.若在其某條邊上沒有點集中的點,則通過作以邊所對頂點為中心的位似變換將其縮小,使得該邊與點集相交,并且縮小后的三角形仍然包含點集,對各條邊均如此操作,即可得到所需的三角形.

引理2得證

綜合兩個引理,知三角形的任何包含點集M的同位相似圖形一定包含三角形.

將引理2運用于點集和正三角形,得到一個三角形,不妨稱之為.在邊上分別有點集X中的點,其中,有些點可能重合

的大小不超過三角形,則題中結(jié)論成立.否則,考慮、,其中, 是以A為中心所作的的位似圖形,其大小與三角形相同,其余兩個三角形的定義類似.因而,它們均為三角形的平移圖形.

再考慮點集X的如下子集:

,

,

.

再證明一個引理

引理3若三角形的某個平移圖形包含點,則圖形就不可能與相交.對于其余情形也有類似的結(jié)論

引理3的證明

假設(shè)命題不真,于是,三角形各條邊的直線相交.從而,它包含.而三角形是全等的三角形,故它們重合.因此,由的定義知三角形不可能與之相交.

引理3得證

對三角形T和集合,運用引理2得到三角形、三角形、三角形,且在它們的邊上可找到分別屬于集合的點(可能有些點相互重合).

由題意,知點集

可被三角形T的某兩個平移圖形所覆蓋故必有一個平移圖形至少蓋住中的兩個點,不妨設(shè).

據(jù)引理3,知三角形不可能與集合X相交.從而,點均含于另一個三角形中.再由引理1,知集合被包含于三角形之中,這表明,集合X被和三角形所覆蓋.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以原點O為極點,以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為.

(1)求曲線C1的極坐標方程和C2的直角坐標方程;

(2)射線OP:(其中)與C2交于P點,射線OQ:與C2交于Q點,求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某環(huán)線地鐵按內(nèi)、外線同時運行,內(nèi)、外環(huán)線的長均為30千米(忽略內(nèi)、外環(huán)線長度差異),新調(diào)整的方案要求內(nèi)環(huán)線列車平均速度為20千米/小時,外環(huán)線列車平均速度為30千米/小時,現(xiàn)內(nèi)、外環(huán)線共有18列列車全部投入運行,其中內(nèi)環(huán)投入列列車.

1)寫出內(nèi)、外環(huán)線乘客的最長候車時間(分鐘)分別關(guān)于的函數(shù)解析式;

2)要使內(nèi)、外環(huán)線乘客的最長候車時問之差距不超過1分鐘,問內(nèi)、外環(huán)線應(yīng)各投入幾列列車運行?

3)要使內(nèi)、外環(huán)線乘客的最長候車時間之和最小,問內(nèi)、外環(huán)線應(yīng)各投入幾列列車運行?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)若在區(qū)間上單調(diào)遞增,求m的取值范圍;

2)求在區(qū)間上的最小值;

3)討論在區(qū)間上的零點個數(shù).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】畢業(yè)季有位好友欲合影留念,現(xiàn)排成一排,如果:

1兩人不排在一起,有幾種排法?

2、兩人必須排在一起,有幾種排法?

3不在排頭,不在排尾,有幾種排法?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

() 1是關(guān)于x的方程的一個解,求t的值;

() 時,解不等式

()若函數(shù)在區(qū)間(-1,2]上有零點,求t的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】現(xiàn)有一段長度為的木棍,希望將其鋸成盡可能多的小段,要求每一小段的長度都是整數(shù),并且任何一個時刻,當前最長的一段都嚴格小于當前最短的一段長度的2倍,記對符合條件時的最多小段數(shù)為,則( )。

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)(),曲線在點處的切線方程為.

(1)求實數(shù)的值,并求的單調(diào)區(qū)間;

(2)試比較的大小,并說明理由;

(3)求證:

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2018年8月8日是我國第十個全民健身日,其主題是:新時代全民健身動起來。某市為了解全民健身情況,隨機從某小區(qū)居民中抽取了40人,將他們的年齡分成7段:[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]后得到如圖所示的頻率分布直方圖。

(1)試求這40人年齡的平均數(shù)、中位數(shù)的估計值;

(2)(i)若從樣本中年齡在[50,70)的居民中任取2人贈送健身卡,求這2人中至少有1人年齡不低于60歲的概率;

(ⅱ)已知該小區(qū)年齡在[10,80]內(nèi)的總?cè)藬?shù)為2000,若18歲以上(含18歲)為成年人,試估計該小區(qū)年齡不超過80歲的成年人人數(shù)。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案