Question

4．已知曲線C：xy=1，過C上一點(diǎn)A_n（x_n，y_n）作一斜率為k_n=-$\frac{1}{{x}_{n}+2}$的直線交曲線C于另一點(diǎn)A_n+1（x_n+1，y_n+1），點(diǎn)列{A_n}的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{x_n}，其中x₁=$\frac{11}{7}$
（Ⅰ）求x_n與x_n+1的關(guān)系式；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{1}{{x}_{n}-2}$+$\frac{1}{3}$，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并寫出通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）若c_n=3ⁿ-λb_n（λ為非零正數(shù)，n∈N^*），試確定λ的值，使得對(duì)任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得過直線A_n（x_n，y_n）的直線方程并與xy=1聯(lián)立，消去y整理即可求得x_n與x_n+1的關(guān)系式；
（Ⅱ）將b_n=$\frac{1}{{x}_{n}-2}$+$\frac{1}{3}$代入$\frac{_{n+1}}{_{n}}$，求得$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=-2，然后再求出b₁，數(shù)列{b_n}是以-2為首項(xiàng)，-2為公比等比數(shù)列，并求得通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）根據(jù)關(guān)系式c_n=3ⁿ-λb_n，得到數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式．然后得到c_n+1-c_n，再分別根據(jù)n奇偶性進(jìn)行討論，綜合可得λ的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）過A_n（x_n，y_n）的直線方程為y-y_n=-$\frac{1}{{x}_{n}+2}$（x-x_n），
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y-{y}_{n}=-\frac{1}{{x}_{n}+2}（x-{x}_{n}）}\\{xy=1}\end{array}\right.$；
消y得：$\frac{1}{{x}_{n}+2}{x}^{2}-（{y}_{n}+\frac{{x}_{n}}{{x}_{n}+1}）+1=0$，
所以：x_nx_n+1=x_n+2，即x_n+1=$\frac{{x}_{n}+2}{{x}_{n}}$；
（Ⅱ）證明：$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{\frac{1}{{x}_{n+1}-2}+\frac{1}{3}}{\frac{1}{{x}_{n}-2}+\frac{1}{3}}$=$\frac{\frac{{x}_{n}}{2-{x}_{n}}+\frac{1}{3}}{\frac{1}{{x}_{n}-2}+\frac{1}{3}}$=$\frac{\frac{3{x}_{n}+2-{x}_{n}}{3（2-{x}_{n}）}}{\frac{3+{x}_{n}-2}{3（{x}_{n}-2）}}$=-2，
∴{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)b₁=$\frac{1}{{x}_{1}-2}+\frac{1}{3}$=-2，
∴數(shù)列{b_n}是以-2為首項(xiàng)，-2為公比等比數(shù)列，
∴數(shù)列{b_n}通項(xiàng)公式b_n=（-2）ⁿ；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：b_n=（-2）ⁿ，要使c_n+1-c_n成恒成立，
則c_n+1-c_n=[3ⁿ⁺¹-λ（-2）ⁿ⁺¹]-[3ⁿ-λb_n]恒成立．
①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即λ＜（$\frac{3}{2}$）^n-1恒成立．
因?yàn)閚=1時(shí)（$\frac{3}{2}$）^n-1取最小值1，
∴λ＜1．
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，λ＞-（$\frac{3}{2}$）^n-1恒成立．
因?yàn)楫?dāng)n=2時(shí)-（$\frac{3}{2}$）^n-1取最大值-$\frac{3}{2}$，
∴λ＞-$\frac{3}{2}$，
綜上，得：-$\frac{3}{2}$＜λ＜1，
∴λ=-1，
所以λ=-1時(shí)，使得對(duì)任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列與不等式綜合應(yīng)用，考查等比數(shù)列證明及通項(xiàng)公式，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題．