Question

9．定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f（x）滿足對(duì)?x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x+b，若函數(shù)y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上恰好有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{5}$）
• B． （0，$\frac{1}{3}$）
• C． （$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{3}$）
• D． （$\frac{1}{3}$，1）

Answer 1

分析 根據(jù)條件先求出f（1）=0，即函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，然后根據(jù)奇偶性求出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，結(jié)合函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵偶函數(shù)f（x）滿足對(duì)?x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），
∴令x=-1，得f（-1+2）=f（-1）-f（1），
即f（1）=f（1）-f（1）=0，
則f（1）=0，
即對(duì)?x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1）=f（x），
則函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
∵當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x+b，
∴f（1）=1+b=0，則b=-1，
即當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x-1，
若x∈[-1，0]時(shí)，-x∈[0，1]時(shí)，
則f（-x）=-x-1=f（x），
則當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=x+1，
由函數(shù)y=f（x）-log_a（x+1）=0，得f（x）=log_a（x+1），
作出f（x）和g（x）=log_a（x+1）在（0，+∞）上的圖象
若函數(shù)y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上恰好有三個(gè)零點(diǎn)，
則等價(jià)為兩個(gè)函數(shù)f（x）和g（x）在（0，+∞）上恰好有三個(gè)交點(diǎn)，
若a＞1，兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件．
若0＜a＜1，要使兩個(gè)函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，
則點(diǎn)A（2，-1）則g（x）的圖象的下方，B（4，-1）在g（x）的上方，
即$\left\{\begin{array}{l}{g（2）=lo{g}_{a}3＜-1}\\{g（4）=lo{g}_{a}5＞-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜\frac{1}{3}}\\{a＞\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，即$\frac{1}{5}$＜a＜$\frac{1}{3}$，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{3}$），
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)條件求出函數(shù)的解析式以及在一個(gè)周期內(nèi)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．