Question

10．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，如圖
（1）求證：平面AB₁D₁∥平面C₁BD；
（2）試找出體對角線A₁C與平面AB₁D₁和平面C₁BD的交點E，F(xiàn)．并證明：A₁E=EF=FC．

Answer 1

分析 （1）由正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，可證B₁D₁∥BD；AD₁∥BC₁，又由B₁D₁∩AD₁=D₁，BD∩BC₁=B，即可判定平面AB₁D₁∥平面C₁BD；
（2）連接A₁C₁交B₁D₁于點O₁，平面AA₁CC₁交平面AB₁D₁和平面C₁BD于AO₁，C₁O；連接AO₁，則A₁C與AO₁，C₁O的交點即分別為E，F(xiàn)點，由AO₁∥C₁O，根據(jù)$\frac{{A}_{1}E}{EF}=\frac{{A}_{1}{O}_{1}}{{O}_{1}{C}_{1}}$，$\frac{CF}{FE}=\frac{CO}{OA}$，即可證明A₁E=EF=FC．

解答 證明：（1）∵已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，如圖
∴B₁D₁∥BD；AD₁∥BC₁
∵B₁D₁∩AD₁=D₁，BD∩BC₁=B，
∴平面AB₁D₁∥平面C₁BD；
（2）如圖，連接A₁C₁交B₁D₁于點O₁，平面AA₁CC₁交平面AB₁D₁和平面C₁BD于AO₁，C₁O；連接AO₁，
則A₁C與AO₁，C₁O的交點即分別為E，F(xiàn)點．
∴AO₁∥C₁O；
∴可得：$\frac{{A}_{1}E}{EF}=\frac{{A}_{1}{O}_{1}}{{O}_{1}{C}_{1}}$，即：A₁E=EF，
$\frac{CF}{FE}=\frac{CO}{OA}$，即有：CF=FE，
綜上可得：A₁E=EF=FC．

點評 本題主要考查了平面與平面平行的判定，平面與平面之間的位置關(guān)系，考查了空間想象能力和推理論證能力，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．