Question

15．設(shè)f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，f″（x）是f′（x）的導(dǎo)函數(shù)，如果f（x）同時滿足下列條件：①存在x₀，使f″（x₀）=0；②存在ε＞0，使f′（x）在區(qū)間（x₀-ε，x₀）單調(diào)遞增，在區(qū)間（x₀，x₀+ε）單調(diào)遞減．則稱x₀為f（x）的“上趨拐點”；
如果f（x）同時滿足下列條件：①存在x₀，使f″（x₀）=0；②存在ε＞0，使f′（x）在區(qū)間（x₀-ε，x₀）單調(diào)遞減，在區(qū)間（x₀，x₀+ε）單調(diào)遞增．則稱x₀為f（x）的“下趨拐點”．
給出以下命題，其中正確的是①③④（只寫出正確結(jié)論的序號）
①0為f（x）=x³的“下趨拐點”；
②f（x）=x²+e^x在定義域內(nèi)存在“上趨拐點”；
③f（x）=e^x-ax²在（1，+∞）上存在“下趨拐點”，則a的取值范圍為（$\frac{e}{2}$，+∞）；
④f（x）=$\frac{1}{3}a{x^3}-\frac{1}{2}a（a-1）{x^2}-{a^2}x+1$，若a為f（x）的“上趨拐點”，則a=-1．

Answer 1

分析 通過分析可知，x₀是導(dǎo)函數(shù)f′（x）的極大值點時，則x₀是f（x）的“上趨拐點”；x₀是導(dǎo)函數(shù)f′（x）的極小值點時，則x₀是f（x）的“下趨拐點”．依此對原題四個選項逐一進(jìn)行判斷．

解答 解：由題意可知，x₀是導(dǎo)函數(shù)f′（x）的極大值點時，則x₀是f（x）的“上趨拐點”；x₀是導(dǎo)函數(shù)f′（x）的極小值點時，則x₀是f（x）的“下趨拐點”．
①由已知f′（x）=3x²，所以f″（x）=6x，且當(dāng)x＜0時，f″（x）＜0，當(dāng)x＞0時，f″（x）＞0，所以0為f（x）的“下趨拐點”，故①正確；
②由已知f′（x）=2x+e^x，則f″（x）=2+e^x＞0恒成立，故f″（x）=0無解，所以f（x）=x²+e^x無上趨拐點，故②錯誤；
③由已知得f′（x）=e^x-2ax，所以f″（x）=e^x-2a，易知，該函數(shù)為定義域上的增函數(shù)，令f″（x）=0，若有解，則x=ln（2a），則當(dāng)x＜ln（2a）時，f″（x）＜0，當(dāng)x＞ln（2a）時，f″（x）＞0，故函數(shù)f′（x）在（-∞，ln（2a））上遞減，在（ln（2a），+∞）上遞增，所以x=ln（2a）是函數(shù)f（x）的下趨拐點，由題意得ln（2a）＞1=lne，所以2a＞e，所以a＞$\frac{e}{2}$，故③正確；
④由已知得f′（x）=ax²-a（a-1）x-a²，所以f″（x）=2ax-a（a-1），若x=a是上（或下）趨拐點，則f″（a）=2a²-a（a-1）=0，解得a=0或-1，顯然a≠0，當(dāng)a=-1時，f″（x）=-2x-2，易知當(dāng)x＜-1時，f″（x）＞0，當(dāng)x＞-1時，f″（x）＜0，所以f′（x）在（-∞，-1）上遞增，在（-1，+∞）上遞減，所以a=-1是f（x）的上趨拐點．故④正確．
故答案為：①③④．

點評 本題考查了新定義問題的處理方法，主要是根據(jù)所學(xué)將問題轉(zhuǎn)化為已知的“極值問題”來認(rèn)識，從而得到了解決問題的方法．