Question

1．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象在y軸上的截距為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是函數(shù)f（x）圖上的任意兩點(diǎn)，當(dāng)|y₁-y₂|=2時，|x₁-x₂|的最小值為2π．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）要得到函數(shù)y=sinx的圖象，可以將函數(shù)y=f（x）的圖象作怎樣的變換？

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)三角函數(shù)的周期公式，結(jié)合題意算出ω=$\frac{1}{2}$，再根據(jù)f（0）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得出φ=$\frac{π}{3}$，即可得到函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系，進(jìn)行圖象變換即可．

解答 解：（Ⅰ）∵當(dāng)|y₁-y₂|=2時，|x₁-x₂|的最小值為2π，
∴$\frac{T}{2}$=2π，∴周期T=$\frac{2π}{ω}$=4π，可得ω=$\frac{1}{2}$，
即f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+φ），
∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象在y軸上的截距為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴f（0）=sinφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$，
由此可得f（x）的解析式為f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$） 
（Ⅱ）若f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$），將f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$倍，縱坐標(biāo)不到，
得到y(tǒng)=sin（x+$\frac{π}{3}$），然后沿x軸向右平移$\frac{π}{3}$個單位得到y(tǒng)=sin（x-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=sinx．

點(diǎn)評 本題求三角函數(shù)式的解析式的求解，根據(jù)條件求出ω 和φ的值，結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．