Question

20．（1+x+x²）（x-$\frac{1}{x}$）⁶的展開式中的常數(shù)項為m，則函數(shù)y=-x²與y=mx的圖象所圍成的封閉圖形的面積為（　　）

• A． $\frac{625}{6}$
• B． $\frac{250}{6}$
• C． $\frac{375}{6}$
• D． $\frac{125}{6}$

Answer 1

分析 由題意，先根據(jù)二項展開式的通項求出常數(shù)項m，然后利用積分，求得圖形的面積即可

解答 解：由于（x-$\frac{1}{x}$）⁶的展開式的通項為T_r+1=$（-1）^{r}{C}_{6}^{r}{x}^{6-2r}$，
分別令6-2r=0可得r=3，T₄=-20，
令6-2r=-1，則r不存在，
令6-2r=-2可得r=4，T₅=15x^-2，
∴m=-20×1+15x^-2×x²=-5，
∴y=-x²與y=mx=-5x的交點O（0，0），A（5，-25），
圖象圍成的封閉圖形的面積S=${∫}_{0}^{5}（-{x}^{2}+5x）dx$=$（-\frac{1}{3}{x}^{3}+\frac{5}{2}{x}^{2}）{|}_{0}^{5}$=$\frac{125}{6}$．
故選：D．

點評 本題考查定積分在求面積中的應(yīng)用以及二項式的性質(zhì)，求解的關(guān)鍵利用二項式定理求出常數(shù)項，積分與二項式定理這樣結(jié)合，形式較新穎，本題易因為對兩個知識點不熟悉公式用錯而導(dǎo)致錯誤，牢固掌握好基礎(chǔ)知識很重要．