Question

如圖，橢圓：（）和圓：，已知圓將橢圓的長軸三等分，且，橢圓的下頂點為，過坐標原點且與坐標軸不重合的任意直線與圓相交于點、．

（Ⅰ ）求橢圓的方程；

（Ⅱ ）若直線、分別與橢圓相交于另一個交點為點、． 

 ①   求證：直線經過一定點；  

 ② 試問：是否存在以為圓心，為半徑的圓，使得直線和直線都與圓相交？若存在，請求出所有的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ ）依題意，，則，

∴，又，∴，則，

∴橢圓方程為．————————3分

（Ⅱ）①由題意知直線的斜率存在且不為0，設直線的斜率為，則：，

由得或

∴，————————5分

用去代，得，

方法1：，

∴：，即，——6分

∴直線經過定點．——————7分

方法2：作直線關于軸的對稱直線，此時得到的點、關于軸對稱，則與相交于軸，可知定點在軸上，

當時，，，此時直線經過軸上的點，

∵

∴，∴、、三點共線，即直線經過點，

綜上所述，直線經過定點．

②由得或∴，

則直線：，

設，則，直線：，直線：，

假設存在圓心為，半徑為的圓，使得直線和直線都與圓相交，

則由（）得對恒成立，則，

由（）得，對恒成立，

當時，不合題意；當時，，得，即，

∴存在圓心為，半徑為的圓，使得直線和直線都與圓相交，所有的取值集合為．

解法二：圓，由上知過定點，故；又直線過原點，故，從而得．