Question

一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R的球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，且該正三棱錐的體積是

3

4

，則球的體積為（　　）

• A、

  1

  3

  π
• B、

  1

  6

  π
• C、

  32

  3

  π
• D、

  4

  3

  π

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，所以球心是底面三角形的中心，球的半徑，就是三棱錐的高，再求底面面積，即可求解三棱錐的體積的解析式，從而求出球半徑，最后利用球的體積公式計(jì)算即得．

解答： 解：正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，
其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，所以球心是底面三角形的中心，
設(shè)球的半徑為R，所以底面三角形的邊長(zhǎng)為a，

2

3

×

3

2

a=R，a=

3

R，
該正三棱錐的體積：

1

3

×

3

4

×（

3

R）²×R=

3

4

，
∴R=1，
則球的體積為

4

3

π．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱錐的體積，棱錐的外接球的問(wèn)題，考查空間想象能力，是基礎(chǔ)題．