Question

17．給出下列四個命題：
①已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，（x為有理數(shù)）}\\{0，（x為無理數(shù)）}\end{array}\right.$，則f（x）為偶函數(shù)；
②函數(shù)y=（x+1）²+1（x≥0）與函數(shù)y=-1+$\sqrt{x-1}$（x≥1）互為反函數(shù)；
③函數(shù)f（x）=e^-xx²在x=2處取得極大值；
④已知函數(shù)y=f（x）的圖象在M（1，f（1））處的切線方程是y=$\frac{1}{2}$x+2，則f（1）+f′（1）=3．
其中真命題的代號是①②③④（寫出所有真命題的代號）．

Answer 1

分析 ①．利用函數(shù)的奇偶性的定義即可判斷出正誤；
②．利用反函數(shù)的求法即可判斷出正誤；
③．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值，即可判斷出正誤；
④．由已知可得：f（1）=$\frac{1}{2}+2$，f′（1）=$\frac{1}{2}$，即可判斷出正誤．

解答 解：①已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，（x為有理數(shù)）}\\{0，（x為無理數(shù)）}\end{array}\right.$，設x為有理數(shù)，則-x也為有理數(shù)，∴f（-x）=1=f（x），同理當x為無理數(shù)時，也有f（-x）=f（x）=0，因此f（x）為偶函數(shù)，因此正確；
②由函數(shù)y=（x+1）²+1（x≥0），解出x=-1+$\sqrt{y-1}$，把x與y互換可得：y=-1+$\sqrt{x-1}$（x≥1），因此函數(shù)y=（x+1）²+1（x≥0）與函數(shù)y=-1+$\sqrt{x-1}$（x≥1）互為反函數(shù)，正確；
③函數(shù)f（x）=e^-xx²，f′（x）=-e^-xx²+2xe^-x=xe^-x（2-x），當x＞2時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調遞減；當x＜2時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調遞增，因此x=2處取得極大值，正確；
④已知函數(shù)y=f（x）的圖象在M（1，f（1））處的切線方程是y=$\frac{1}{2}$x+2，則f（1）=$\frac{1}{2}+2$，f′（1）=$\frac{1}{2}$，∴f（1）+f′（1）=3，因此正確．
其中真命題的代號是 ①②③④．
故答案為：①②③④．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性的定義、反函數(shù)的求法、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值切線方程及其幾何意義、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．