Question

2．已知函數(shù)$f（x）=lnx+\frac{1-x}{ax}（a＞0）$．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）要使原函數(shù)在[1，∞）上遞增，只需其導(dǎo)函數(shù)大于或等于零在[1，+∞）上恒成立即可；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，研究函數(shù)在[1，e]上的單調(diào)性，然后求函數(shù)的最值．

解答 解：（1）由已知得：f′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{a{x}^{2}}$．
要使函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，只需$\frac{1}{x}-\frac{1}{a{x}^{2}}$≥0在[1，+∞）上恒成立．
結(jié)合a＞0可知，只需a$≥\frac{1}{x}$，x∈[1，+∞）即可．
易知，此時(shí)$（\frac{1}{x}）_{max}$=1，所以只需a≥1即可．
（2）結(jié)合（1），令f′（x）=$\frac{a（x-\frac{1}{a}）}{a{x}^{2}}$=0得$x=\frac{1}{a}$．
當(dāng)a≥1時(shí)，由（1）知，函數(shù)f（x）在[1，e]上遞增，所以f（x）_min=f（1）=0；
當(dāng)$\frac{1}{e}≤a＜1$時(shí)，$1＜\frac{1}{a}≤e$，此時(shí)在[1，$\frac{1}{a}$）上f′（x）＜0，在$（\frac{1}{a}，e]$上f′（x）＞0，
所以此時(shí)f（x）在$[1，\frac{1}{a}）$上遞減，在$[\frac{1}{a}，e]$上遞增，所以f（x）_min=f（$\frac{1}{a}$）=1-lna-$\frac{1}{a}$；
當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{e}$時(shí)，$\frac{1}{a}＞e$，故此時(shí)f′（x）＜0在[1，e]上恒成立，所以f（x）在[1，e]上遞減，
所以f（x）_min=f（e）=$1+\frac{1}{ae}-\frac{1}{a}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的基本思路，以及已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍時(shí)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在指定區(qū)間上大于零或小于零恒成立的問(wèn)題的思想方法．