Question

5．設(shè)A（2，1），A∈l，直線(xiàn)l與⊙O：x²+y²=9交于B，C兩點(diǎn)，則$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$的最大值為1．

Answer 1

分析 運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義和余弦定理及弦長(zhǎng)公式，由弦BC垂直于OA時(shí)，BC長(zhǎng)最小，即可求得最大值．

解答 解：⊙O：x²+y²=9的圓心為（0，0），半徑為3，
$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=|$\overrightarrow{OB}$|•|$\overrightarrow{OC}$|•cos∠BOC=9cos∠BOC，
由余弦定理可得cos∠BOC=$\frac{O{B}^{2}+O{C}^{2}-B{C}^{2}}{2OB•OC}$
=$\frac{18-B{C}^{2}}{18}$，
當(dāng)弦BC垂直于OA時(shí)，BC長(zhǎng)最小，
此時(shí)BC=2$\sqrt{{3}^{2}-O{A}^{2}}$=2$\sqrt{9-5}$=4．
即有cos∠BOC取得最大值$\frac{18-16}{18}$=$\frac{1}{9}$，
則$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$的最大值為9×$\frac{1}{9}$=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積的定義，同時(shí)考查余弦定理和弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用，由圓的垂徑定理求得弦長(zhǎng)最小值是解題的關(guān)鍵．