Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是菱形，點(diǎn)在線段上.

（1）證明：平面平面；

（2）若，二面角的余弦值為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)菱形的對(duì)角線垂直以及直線與平面垂直的性質(zhì)可證平面，再根據(jù)平面與平面垂直的判定定理可證平面平面；

（2）以，為軸，軸，以平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)平面的法向量可解得結(jié)果.

（1）因?yàn)樗倪呅?/span>是菱形，所以.

因?yàn)?/span>平面，所以.

因?yàn)?/span>，所以平面.

因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.

（2）因?yàn)?/span>，設(shè)，分別以，為軸，軸，以平行于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，

設(shè)，，則，，，，

，，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，

取，則，，則.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即

取，則，，則.

，因?yàn)?/span>，所以，所以，

所以.

于是.