Question

3．一個三棱錐的三視圖如圖所示，則該棱錐的外接球的體積為（　　）

• A． 1000$\sqrt{2}$π
• B． 125$\sqrt{2}$π
• C． $\frac{1000\sqrt{2}π}{3}$
• D． $\frac{125\sqrt{2}π}{3}$

Answer 1

分析 由三視圖可知該三棱錐：為棱長為5、4、3的長方體切去四個小棱錐得到的幾何體，得該三棱錐和長方體的外接球相同，利用長方體的體對角線是球的直徑求出R，代入球的體積公式計算即可．

解答 解：由三視圖可知該三棱錐：
為棱長為5、4、3的長方體切去四個小棱錐得到的幾何體，
∴該三棱錐和長方體的外接球相同，
設該三棱錐的外接球半徑為R，
∴2R=$\sqrt{{5}^{2}+{4}^{2}+{3}^{2}}$=5$\sqrt{2}$．∴R=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴外接球的體積為V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{125\sqrt{2}π}{3}$，
故選：D．

點評 本題考查了幾何體的三視圖，常見幾何體與外接球的關系，根據(jù)三視圖得出三棱錐與長方體的關系是關鍵，考查空間想象能力．