Question

9．已知在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AB=2CD=2AD=2，P是以C為圓心，且與BD相切的圓上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AD}+μ\overrightarrow{AB}$（λ，μ∈R），則λ+μ最大值為（　�。�

• A． -1
• B． 2
• C． 1
• D． -2

Answer 1

分析 以A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)P（1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$cosθ，1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$sinθ），把λ+μ表示為關(guān)于θ的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出λ+μ的最大值．

解答 解：以A為原點(diǎn)，以AB，AD為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B（2，0），D（0，1），C（1，1）．
∴$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AD}$+μ$\overrightarrow{AB}$=（2μ，λ）．
設(shè)圓C半徑為r，BD與圓C切點(diǎn)為E，則sin∠CDE=$\frac{r}{CD}$=r，
又sin∠CDE=sin∠DBA=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，∴r=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
設(shè)P（1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$cosθ，1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$sinθ），則$\overrightarrow{AP}$=（1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$cosθ，1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$sinθ），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2μ=1+\frac{\sqrt{5}}{5}cosθ}\\{λ=1+\frac{\sqrt{5}}{5}sinθ}\end{array}\right.$，∴λ+μ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$sinθ+$\frac{\sqrt{5}}{10}$cosθ+$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$sin（θ+φ）+$\frac{3}{2}$，
∴當(dāng)sin（θ+φ）=1時(shí)，λ+μ取得最大值2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的基本定理，三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．