Question

1．已知函數(shù)f（x）=|x-1|．
（Ⅰ）解不等式f（x-1）+f（x+3）≥6；
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且b≠0，求證：f（ab）＞|b|f（$\frac{a}$）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用絕對值的應用將函數(shù)表示成分段函數(shù)形式，即可求f（x-1）+f（x+3）≥6的解集；
（Ⅱ）利用分析法，要證f（ab）＞|a|f（$\frac{a}$），只需證證（ab-1）²＞（b-a）²，再作差證明即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（x-1）+f（x+3）≥6得|x-2|+|x+2|≥6，
若x≥2，則不等式等價為x-2+x+2≥6，即2x≥6，x≥3，
若-2＜x＜2，則不等式等價為-x+2+x+2≥6，即4≥6，此時不等式無解，
若x≤-2，則不等式等價為-（x-2）-（x+2）≥6，即-2x≥6，x≤-3，
綜上x≥3或x≤-3，即不等式解集為（-∞，-3]∪[3，+∞）；    …（5分）
（Ⅱ）∵f（ab）＞|b|f（$\frac{a}$）．等價為|ab-1|＞|b||$\frac{a}$-1|=|a-b|，
∴要證：|ab-1|＞|b||$\frac{a}$|成立，
只需證：|ab-1|＞|a-b|成立，
只需證（ab-1）²＞（b-a）²，
而（ab-1）²-（b-a）²=a²b²-a²-b²+1=（a²-1）（b²-1）＞0顯然成立，
從而原不等式成立．   …（10分）

點評 本題考查絕對值不等式的解法，通過對x范圍的分析討論，去掉絕對值符號，利用一次函數(shù)的單調(diào)性求最值是關鍵，考查運算與推理證明的能力，屬于中檔題．