Question

19．請(qǐng)閱讀下列不等式的證法：已知a₁，a₂∈R，a₁²+a₂²=1，求證：|a₁+a₂|≤$\sqrt{2}$．
證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²，
則f（x）=2x²-2（a₁+a₂）x+a₁²+a₂²=2x²-2（a₁+a₂）x+1．
因?yàn)閷?duì)一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a₁+a₂）²-8≤0，從而得|a₁+a₂|≤$\sqrt{2}$．
請(qǐng)回答下面的問(wèn)題：
若a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁²+a₂²+…+a_n²=1，請(qǐng)寫(xiě)出上述結(jié)論的推廣形式，并進(jìn)行證明．

Answer 1

分析 觀察已知中的證明過(guò)程，我們可以類比對(duì)此公式進(jìn)行證明．

解答 解：推廣形式：若a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁²+a₂²+…+a_n²=1，則|a₁+a₂+…+a_n|≤$\sqrt{n}$．
證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²+…+（x-a_n）²，
則f（x）=nx²-2（a₁+a₂+…+a_n）x+a₁²+a₂²+…+a_n²=nx²-2（a₁+a₂+…+a_n）x+1．
因?yàn)閷?duì)一切x∈R，恒有f（x）≥0，
所以△=4（a₁+a₂+…+a_n）²-4n≤0，
從而得|a₁+a₂+…+a_n|≤$\sqrt{n}$．

點(diǎn)評(píng) 歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．（3）對(duì)歸納得到的一般性結(jié)論進(jìn)行證明．