Question

4．已知函數(shù)f（x）滿足f（x+4）=f（x），且當(dāng)-1＜x≤3時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{m\sqrt{1-{x}^{2}}，x∈（-1，1]}\\{1-|x-2|，x∈（1，3]}\end{array}\right.$．其中m＞0，若方程3f（x）-x=0恰好有5個根，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{\sqrt{15}}{3}$，$\sqrt{7}$）
• B． （$\frac{\sqrt{15}}{3}$，$\frac{8}{3}$）
• C． （$\frac{4}{3}$，$\sqrt{7}$）
• D． （　$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{3}$）

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出函數(shù)是周期為4的函數(shù)，作出兩個函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合結(jié)合直線和曲線的相切問題，即可得到結(jié)論．

解答 解：由f（x+4）=f（x），得函數(shù)f（x）是周期為4的函數(shù)，
若方程3f（x）-x=0恰好有5個根，
即方程f（x）-$\frac{x}{3}$=0恰好有5個根，
即f（x）=$\frac{x}{3}$恰好有5個根，
即函數(shù)f（x）與g（x）=$\frac{x}{3}$恰好有5個交點，
作出函數(shù)f（x）與g（x）的圖象，
當(dāng)0＜x＜3時，兩個函數(shù)有3個交點
當(dāng)x＞0時，設(shè)y=g（x）=log₄|x|=log₄x，
則g（3）=log₄3＜1，f（3）=f（1）=1，
g（5）=log₄5＞1，故當(dāng)x＞0，兩個函數(shù)有3個交點，
則要使函數(shù)f（x）與g（x）=$\frac{x}{3}$恰好有5個交點，
則只需要保證在3＜x＜4時，有兩個交點，同時在7＜x＜8時，沒有交點即可，
∵f（x+4）=f（x），∴f（x）=f（x-4），
∴當(dāng)3＜x＜4時，-1＜x-4＜0，此時f（x）=f（x-4）=m$\sqrt{1-（x-4）^{2}}$，
當(dāng)直線y=$\frac{x}{3}$與y=m$\sqrt{1-（x-4）^{2}}$相切時，
滿足$\frac{x}{3}$=m$\sqrt{1-（x-4）^{2}}$，
平方得（1+9m²）x²-72m²x+135m²=0，
則判別式△=（-72m²）²-4（1+9m²）×135m²=0，
整理得m²=$\frac{15}{9}$，解得m=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，此時兩個函數(shù)有4個交點，
當(dāng)7＜x＜8時，3＜x-4＜4，此時f（x）=f（x-4）=m$\sqrt{1-（x-4-4）^{2}}$=m$\sqrt{1-（x-8）^{2}}$，
當(dāng)直線y=$\frac{x}{3}$與y=m$\sqrt{1-（x-8）^{2}}$相切時，
滿足$\frac{x}{3}$=m$\sqrt{1-（x-8）^{2}}$，
平方得（1+9m²）x²-16×9m²x+63×9m²=0，
則判別式△=（-16×9m²）²-4（1+9m²）×63×9m²=0，
整理得m²=7，解得m=$\sqrt{7}$，此時兩個函數(shù)有6個交點，
故若函數(shù)f（x）與g（x）=$\frac{x}{3}$恰好有5個交點，
則實數(shù)m的取值范圍$\frac{\sqrt{15}}{3}$＜m＜$\sqrt{7}$，即（$\frac{\sqrt{15}}{3}$，$\sqrt{7}$），
故選：A

點評 本題主要考查函數(shù)交點個數(shù)的判斷，利用條件判斷函數(shù)的周期性，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．運算量大，綜合性較強難度較大．