Question

2．已知數(shù)列{a_n}是公比大于1的等比數(shù)列，其前n項和為S_n，且a₁，a₃是方程x²-5x+4=0的兩根，則S₃=7．

Answer 1

分析 利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{3}=5}\\{{a}_{1}{a}_{3}=4}\end{array}\right.$，求解方程組得到a₁，a₃，再由等比中項的概念求得a₂，則S₃可求．

解答 解：∵a₁，a₃是方程x²-5x+4=0的兩根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{3}=5}\\{{a}_{1}{a}_{3}=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{{a}_{3}=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=4}\\{{a}_{3}=1}\end{array}\right.$．
∵數(shù)列{a_n}是公比大于1的等比數(shù)列，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{{a}_{3}=4}\end{array}\right.$，
則${a}_{2}=\sqrt{1×4}=2$．
∴S₃=a₁+a₂+a₃=1+2+4=7．
故答案為：7．

點評 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了等比數(shù)列的前n項和，是基礎(chǔ)的計算題．