Question

16．已知對(duì)于圓x²+y²-2y=0上任意一點(diǎn)P，不等式x+y+m≥0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． m≥-1
• B． m≥$\sqrt{2}$-1
• C． m≤-$\sqrt{2}$-1
• D． m≥$\sqrt{2}-1或m≤-\sqrt{2}$-1

Answer 1

分析 方法一、由圓的方程找出圓心坐標(biāo)和半徑，依題意得，只要圓上的點(diǎn)都在直線之上，臨界情況就是直線和圓下部分相切，即圓心（0，1）到直線的距離是1，利用點(diǎn)到直線的距離公式得到關(guān)于m的方程，求出方程的解，根據(jù)圖象判斷符合題意的m的值即可得到使不等式恒成立時(shí)m的取值范圍．
方法二、先設(shè)x=cosα，y-1=sinα，再把不等式x+y+m≥0恒成立轉(zhuǎn)化為m≥-（x+y）恒成立，進(jìn)而利用輔助角公式求-（x+y）的最小值即可得到結(jié)論．

解答 解：法一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x²+（y-1）²=1得，圓心（0，1），半徑r=1
令圓x²+（y-1）²=1與直線x+y+m=0相切，
則圓心到直線的距離d=r，即 $\frac{|1+m|}{\sqrt{1+1}}$=1，化簡(jiǎn)得1+m=±$\sqrt{2}$，
即m=$\sqrt{2}$-1，m=-$\sqrt{2}$-1（舍去），
結(jié)合圖象可知，當(dāng)m≥$\sqrt{2}$-1時(shí)，圓上的任一點(diǎn)都能使不等式x+y+m≥0恒成立．
法二、由題設(shè)：x=cosα，y-1=sinα，
則 x+y=cosα+sinα+1=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）+1∈[-$\sqrt{2}$+1，$\sqrt{2}$+1]．
∵不等式x+y+m≥0恒成立
∴m≥-（x+y）恒成立；
因?yàn)?（x+y）的最大值為：$\sqrt{2}$-1．
∴m≥$\sqrt{2}$-1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，學(xué)生掌握不等式恒成立時(shí)所滿足的條件及直線與圓相切時(shí)所滿足的條件，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)取值，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問(wèn)題，是一道綜合題．本題也可以利用三角函數(shù)換元法進(jìn)行求最值．