Question

16．已知對于圓x²+y²-2y=0上任意一點P，不等式x+y+m≥0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． m≥-1
• B． m≥$\sqrt{2}$-1
• C． m≤-$\sqrt{2}$-1
• D． m≥$\sqrt{2}-1或m≤-\sqrt{2}$-1

Answer 1

分析 方法一、由圓的方程找出圓心坐標(biāo)和半徑，依題意得，只要圓上的點都在直線之上，臨界情況就是直線和圓下部分相切，即圓心（0，1）到直線的距離是1，利用點到直線的距離公式得到關(guān)于m的方程，求出方程的解，根據(jù)圖象判斷符合題意的m的值即可得到使不等式恒成立時m的取值范圍．
方法二、先設(shè)x=cosα，y-1=sinα，再把不等式x+y+m≥0恒成立轉(zhuǎn)化為m≥-（x+y）恒成立，進而利用輔助角公式求-（x+y）的最小值即可得到結(jié)論．

解答 解：法一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x²+（y-1）²=1得，圓心（0，1），半徑r=1
令圓x²+（y-1）²=1與直線x+y+m=0相切，
則圓心到直線的距離d=r，即 $\frac{|1+m|}{\sqrt{1+1}}$=1，化簡得1+m=±$\sqrt{2}$，
即m=$\sqrt{2}$-1，m=-$\sqrt{2}$-1（舍去），
結(jié)合圖象可知，當(dāng)m≥$\sqrt{2}$-1時，圓上的任一點都能使不等式x+y+m≥0恒成立．
法二、由題設(shè)：x=cosα，y-1=sinα，
則 x+y=cosα+sinα+1=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）+1∈[-$\sqrt{2}$+1，$\sqrt{2}$+1]．
∵不等式x+y+m≥0恒成立
∴m≥-（x+y）恒成立；
因為-（x+y）的最大值為：$\sqrt{2}$-1．
∴m≥$\sqrt{2}$-1．
故選：B．

點評 本題考查直線與圓的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，學(xué)生掌握不等式恒成立時所滿足的條件及直線與圓相切時所滿足的條件，靈活運用點到直線的距離公式化簡取值，靈活運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決實際問題，是一道綜合題．本題也可以利用三角函數(shù)換元法進行求最值．