Question

11．已知函數(shù)f（x）=cos（2x+$\frac{π}{6}$）+cos（2x-$\frac{π}{6}$）-cos（2x+$\frac{π}{2}$）+1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若將函數(shù)f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個單位后，得到的函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$軸對稱，求實(shí)數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性得出結(jié)論．
（2）利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得m的最小正值．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=cos（2x+$\frac{π}{6}$）+cos（2x-$\frac{π}{6}$）-cos（2x+$\frac{π}{2}$）+1
=cos2xcos$\frac{π}{6}$-sin2xsin$\frac{π}{6}$+cos2xcos$\frac{π}{6}$+sin2xsin$\frac{π}{6}$）+sin2x+1=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1，
∴函數(shù)f（x）的周期為$\frac{2π}{2}$=π．
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，可得函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．
（2）由題意可得g（x）=2sin（2x+2m+$\frac{π}{3}$）+1 的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{4}$軸對稱，故有$\frac{π}{2}$+2m+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，
即m=$\frac{1}{2}$•kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z，故m的最小正值為$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性以及它的圖象的對稱性，屬于中檔題．